初等行变换
矩阵的三种初等行变换是
- 交换两行：将矩阵的两行交换位置。
- 将矩阵的一行乘以一个非零常数。
- 将矩阵的一行乘以一个数加到另一行。
任意矩阵都可用 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 表示
一、交换两行
$A$ 用 $m$ 个行向量表示：
$$ A = \begin{bmatrix} \vec r_{A,1}\\ \vec r_{A,2}\\ \vdots\\ \vec r_{A,m} \end{bmatrix} $$$A$ 用 $n$ 个列向量表示：
$$ A = [\vec c_{A,1}, \vec c_{A,2}, \ldots, \vec c_{A,n}] $$交换 $A$ 的 $i,j$ 行得到 $A'$，（$i < j$）:
$$ A'= \begin{bmatrix} \vec r_{A,1}\\ \vec r_{A,2}\\ \vdots\\ \vec r_{A,j}\\ \vdots\\ \vec r_{A,i}\\ \vdots\\ \vec r_{A,m} \end{bmatrix} $$假设存在 $m$ 阶矩阵 $P$ 使得：
$$ PA = A' $$将 $P$ 用 $m$ 个行向量表示
$$ P = \begin{bmatrix} \vec r_{P1}\\ \vec r_{P2}\\ \vdots\\ \vec r_{Pm} \end{bmatrix} $$所以 $PA$ 可以表示为：
$$ PA = \begin{bmatrix} \vec r_{P,1}A\\ \vec r_{P,2}A\\ \vdots\\ \vec r_{P,m}A \end{bmatrix} $$有 $PA = A'$ 则
-
对于 $k \not= i,j$
$$ \vec r_{P，k}A = \vec r_{A，k} $$将 $A$ 用列向量表示，对于第 $o$ 列有：
$$ \vec r_{P,k} \vec c_{A,o} = \vec r_{A,k}^{(o)} $$$\vec r_{A,k}^{(o)}$ 为 $\vec r_{A,k}$ 第 $o$ 个值， 已知 $\vec r_{A,k}^{(o)} = \vec c_{A, o}^{(k)}$，显然 $\vec r_{P,k} = [0, 0, \ldots, 1, \ldots, 0]$，第 $k$ 列的值为 1，其余列的值取零
-
对于 $k = i,j$
$k = i$ 时，
$$ \vec r_{P,i}A = \vec r_{A,j} $$同上可推知 $\vec r_{P,k} = [0, 0, \ldots, 1, \ldots, 0]$，第 $j$ 列的值为 1，其余列的值取零
同理可推知 $k = j$ 时，第 $i$ 列的值为 1，其余列的值取零
所以代表 $m \times n$ 矩阵两行交换的 $P$ 确实存在；可以表示为
$$ P =\begin{bmatrix} \vec r_{I_m,1}\\ \vec r_{I_m,2}\\ \vdots\\ \vec r_{I_m,j}\\ \vdots\\ \vec r_{I_m,i}\\ \vdots\\ \vec r_{I_m,m} \end{bmatrix} $$$r_{I_mw} $ 表示在第 $w$ 列取 $1$，在其余列取零的 m 维向量。
$m$ 阶单位矩阵可以表示为：
$$ I_m =\begin{bmatrix} \vec r_{I_m,1}\\ \vec r_{I_m,2}\\ \vdots\\ \vec r_{I_m,i}\\ \vdots\\ \vec r_{I_m,j}\\ \vdots\\ \vec r_{I_m,m} \end{bmatrix} $$即 $P$ 可表示为 $m$ 阶单位矩阵 $I_m$ 交换 $i,j$ 行后得到的矩阵。
二、将矩阵中的一行乘以一个非零常数
有 $A'$：
$$ A' =\begin{bmatrix} \vec r_{A1}\\ \vec r_{A2}\\ \vdots\\ \lambda \cdot \vec r_{Ai}\\ \vdots\\ \vec r_{Am} \end{bmatrix} $$同上
-
对于 $k \not= i$
$$ \vec r_{P,k}A = \vec r_{A,k} $$将 $A$ 用列向量表示，对于第 $o$ 列有：
$$ \vec r_{P,k} \vec c_{A,o} = \vec r_{A,k}^{(o)} $$$\vec r_{P,k} = \vec r_{I_m,k}$
-
对于 $k = i$
$$ \vec r_{P,i}A = \lambda \cdot \vec r_{A,i} $$$\vec r_{P,i} = \lambda \cdot \vec r_{I_m,i}$
所以：
$$ P =\begin{bmatrix} \vec r_{I_m,1}\\ \vec r_{I_m,2}\\ \vdots\\ \lambda \cdot \vec r_{I_m,i}\\ \vdots\\ \vec r_{I_m,m} \end{bmatrix} $$即 $P$ 可表示为 $I_m$ 经第 $i$ 行乘一个常数 $\lambda$ 得到的矩阵。
将矩阵的一行乘以一个数加到另一行
有 $A'$ 和 $1 \le i,j \le m$：
$$ A' =\begin{bmatrix} \vec r_{A,1}\\ \vec r_{A,2}\\ \vdots\\ \lambda \cdot \vec r_{A,j} + \vec r_{A, i}\\ \vdots\\ \vec r_{A,m} \end{bmatrix} $$同上
-
对于 $k \not= i$
$$ \vec r_{P,k}A = \vec r_{A,k} $$将 $A$ 用列向量表示，对于第 $o$ 列有：
$$ \vec r_{P,k} \vec c_{A,o} = \vec r_{A,k}^{(o)} $$$\vec r_{P,k} = \vec r_{I_m,k}$
-
对于 $k = i$
$$ \vec r_{P,i}A = \lambda \cdot \vec r_{A,j} + \vec r_{A,i} $$$\vec r_{P,i} = \lambda \cdot \vec r_{I_m,j} + \vec r_{I_m,i}$
所以
$$ P =\begin{bmatrix} \vec r_{I_m,1}\\ \vec r_{I_m,2}\\ \vdots\\ \lambda \cdot \vec r_{I_m,j} + \vec r_{I_m, i}\\ \vdots\\ \vec r_{I_m,m} \end{bmatrix} $$初等列变换
矩阵的初等列变换被定义为：
- 交换两列: 将矩阵的两列交换位置
- 将矩阵中的一列乘以一个非零常数
- 将矩阵的一列乘以一个数加到另一列
经由前面的行变换可知有
$$ PA=A' $$$A'$ 是 $A$ 经由初等行变换得到。那么 $A'$ 的转置 $A'\ ^T$ 显然可以由 $A^T$ 经由初等列变换得到。每个矩阵都有对应的转置矩阵，所以矩阵的初等列变换结果等于 - 矩阵的转置的行变换结果 - 的转置。有
$$ (PA^T)^T = B $$显然 $B$ 即为 $A^T$ 的初等列变换的结果。上式对任意的矩阵 $A$ 都成立，且可变化形式为：
$$ AP^T = B $$于是可以认为 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的初等列变换等价于右乘一个经同样初等列变换的 $m$ 阶单位矩阵此处即指 $P^T$。
可以基于单位矩阵的行列式等于 $1$，和初等列变换导致的行列式变换去推到变换后得到的 $\det P^T$:
- 交换两列: 行列式变号，于是有
- 某一列乘以非零系数 $\lambda$： 行列式的值变为原来的 $\lambda$ 倍
- 某一列的 $\lambda$ 倍加到另一列： 行列式不变
总结
矩阵三种初等行和列变换的方阵表示都可等价为左乘（初等行变换）或右乘（初等列变换）单位矩阵经同等初等行列变换的结果矩阵。