设 $A$ 是如下分块上三角形式
$$ A = \begin{bmatrix} B & C \\ 0 & D \end{bmatrix} $$这里 B 是 $k×k$ 矩阵，C 是 $k×(n-k)$ 矩阵，D 是 $(n-k)×(n-k)$ 矩阵。证明 $\det A=\det B \det D$。
将 $A$ 的行列式依第一列进行 Laplace 展开得到：
$$ \det A = \sum_{i_1=1}^k(-1)^{i_1 + 1}b_{i_11}A_{i_11} $$因为其中尾部 $n-k$ 行的系数为 $0$，所以直接省去。
对出现的余子式按其第一列即 $A$ 行列式的第二列进行 Laplace 展开，即递归的 Laplace 展开第二列：
$$ \det A = \sum_{i_1=1}^k(-1)^{i_1 + 1}b_{i_11}\sum_{i_2\notin\{i_1\}}^k(-1)^{i_2 + 2}b_{i_22}A_{i_1,i_22} $$其中 $A_{i_11,i_22}$ 代表 $A_{i_11}$ 在 $i_22$ 位置对应的余子式即矩阵 $A$ 划去第 $i_1,i_2$ 行和第 $1,2$ 列后剩余矩阵的行列式。
对 $A$ 进行 $k$ 次从左到右按列的递归 Laplace 展开有：
$$ \det A = \sum_{i_1=1}^k(-1)^{i_1 + 1}b_{i_11}\sum_{i_2\notin\{i_1\}}^k(-1)^{i_2 + 2}b_{i_22} \ldots \sum_{i_k\notin\{i_1, i_2, \ldots,i_3\}}^k(-1)^{i_k + k}b_{i_kk} A_{i_11,i_22,\ldots,i_kk} $$变换可得：
$$ \det A = \sum_{i_1=1}^k\sum_{i_2\notin\{i_1\}}^k \ldots \sum_{i_k\notin\{i_1, i_2, \ldots,i_{k-1}\}}^k(-1)^{i_1 + 1}b_{i_11}(-1)^{i_2 + 2}b_{i_22}(-1)^{i_k + k}b_{i_kk} A_{i_11,i_22,\ldots,i_kk} $$显然 ${i_11,i_22,\ldots,i_kk}$ 是集合 $\{1,2,\ldots,k\}$ 中所有元素的排列，于是 $A_{i_11,i_22,\ldots,i_kk}$ 是一个常数即矩阵 $D$ 的行列式。所以：
$$ \det A = \det D \cdot \sum_{i_1=1}^k\sum_{i_2\notin\{i_1\}}^k \ldots \sum_{i_k\notin\{i_1, i_2, \ldots,i_{k-1}\}}^k(-1)^{i_1 + 1}b_{i_11}(-1)^{i_2 + 2}b_{i_22}(-1)^{i_k + k}b_{i_kk} $$$\sum_{i_1=1}^k\sum_{i_2\notin\{i_1\}}^k \ldots \sum_{i_k\notin\{i_1, i_2, \ldots,i_{k-1}\}}^k(-1)^{i_1 + 1}b_{i_11}(-1)^{i_2 + 2}b_{i_22}(-1)^{i_k + k}b_{i_kk}$ 其实易证得是矩阵 $B$ 行列式的递归 Laplace 展开，即：
$$ \det B = \sum_{i_1=1}^k\sum_{i_2\notin\{i_1\}}^k \ldots \sum_{i_k\notin\{i_1, i_2, \ldots,i_{k-1}\}}^k(-1)^{i_1 + 1}b_{i_11}(-1)^{i_2 + 2}b_{i_22}(-1)^{i_k + k}b_{i_kk} $$所以得证：
$$ \det A = \det D \det B = \det B \det D $$